幂函数图像规律

• 定义域
• 奇偶性
• 单调性
• $f(x)$ 与 $x$ 的关系

\[f(x) = x^\alpha\]

令 $\alpha = k {s \over m}, k \in {1, -1}, s \geq 0, m > 0$

\[f(x) = x^{k {s \over m}}\] \[f(x) = (\sqrt[m]{x^s})^k\]

定义域

• $m$ 为奇数：定义域为 $\mathbb{R}$
• $m$ 为偶数：定义域为 $[0, +\infty)$

奇偶性

前提：$m$ 为奇数，定义域为 $\mathbb{R}$ 关于原点对称

• $s$ 为奇数：$f(x)$ 为奇函数
• $s$ 为偶数：$f(x)$ 为偶函数

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以下内容仅讨论 $f(x)$ 在第一象限的图像。
其余象限性质描述过于复杂不易理解。
请根据函数对称性进行翻折/旋转。

单调性

• $k$ 为 $1$：$f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增
• $k$ 为 $-1$：$f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递减

$f(x)$ 与 $x$ 的关系

• ${s \over m} < 1$：
  • $x < 1$：$f(x) > x$
  • $x > 1$：$f(x) < x$
• ${s \over m} = 1$：$f(x) = x$
• ${s \over m} > 1$：
  • $x < 1$：$f(x) < x$
  • $x > 1$：$f(x) > x$