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221118每日亿题
例 2.16
分析
已知初始位置、初始速度及加速度，求运动到目标位置所需要的时间，代入公式求解即可。
解题
已知
\[\begin{aligned} x_0 & = 0 \\ v_0 & = 20 \text{m} / \text{s} \\ g & = 10 \text{m} / \text{s} \end{aligned}\]根据公式
\[x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2\]得
\[x(t) = 20 t - 5 t^2\]- $x = 15 \text{m} \Rightarrow t = 1 \text{s} \text{或} t = 3 \text{s}$
- $x = 20 \text{m} \Rightarrow t = 2 \text{s}$
- $x = 25 \text{m} \Rightarrow 无解$
- $x = 0 \text{m} \Rightarrow t = 0 \text{s} \text{或} t = 4 \text{s}$
- $x = -25 \text{m} \Rightarrow t = -1 \text{s} ( \text{舍} ) \text{或} t = 5 \text{s}$
例 2.17
分析
法1
当质点 $A, B$ 相遇时，两者高度相等。以此关系建立等式，并根据限定条件（$x \ge 0$）求解。
法2
由于质点 $A$ 高度一定，则其落地时间一定。若要使质点 $A, B$ 在空中相遇，则质点 $B$ 落地所需时间应比质点 $A$ 长。
解题
法1
\[\begin{cases} x_A = h - \frac{1}{2} g t^2 \\ x_B = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases}\]当质点 $A, B$ 相遇时，$x_A = x_B$
即
\[\begin{aligned} h - \frac{1}{2} g t^2 & = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \\ h & = v_0 t \\ t & = \frac{h}{v_0} \end{aligned}\]又 $x_A \ge 0$，所以
\[\begin{aligned} h - \frac{1}{2} g t^2 & \ge 0 \\ h & \ge \frac{1}{2} g t^2 \\ h & \ge \frac{1}{2} g (\frac{h}{v_0})^2 \\ v_0 & \ge \sqrt{\frac{1}{2} g h} \end{aligned}\]法2
\[\begin{aligned} 2 g h & = {v_{t_A} }^2 \\ & = (g t_A)^2 \\ t_A & = \sqrt{2 g h} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_B & = v_0 t_B - \frac{1}{2} g {t_B}^2 \\ \frac{1}{2} g {t_B}^2 + v_0 t_B & = 0 \\ t_B & = \frac{-v_0 \pm \sqrt{ {v_0}^2} }{g} \\ & = \frac{-v_0 \pm v_0}{g} \\ t_B & = -\frac{2 v_0}{g} \end{aligned}\]因为 $t_B \ge t_A$
所以
\[\begin{aligned} -\frac{2 v_0}{g} & \ge \sqrt{2 g h} \\ 4 {v_0}^2 & \ge 2 g h \\ {v_0}^2 & \ge \frac{1}{2} g h \\ v_0 & \ge \sqrt{\frac{1}{2} g h} \end{aligned}\]