因式定理及根的预备役
本来想用 GoodNotes 5 作手写笔记，
但是发现我写的字好像并不是很好看？
因式定理
若 \(a\) 是一元多项式 \(f(x)\) 的根，
即 \(f(a)=0\) 成立，
则多项式 \(f(x)\) 有一个因式 \(x-a\).
推论
\[a_1a_2x^2+a_1b_2x+a_2b_1x+b_1b_2\] \[=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)\] \[=a_1(x+{b_1\over a_1})a_2(x+{b_2\over a_2})\] \[=a_1a_2(x+{b_1\over a_1})(x+{b_2\over a_2})\]根据因式定理：
\(\because (x+{b_1\over a_1}),(x+{b_2\over a_2})\) 是一元多项式 \(f(x)\) 的因式
即 \((x-(-{b_1\over a_1})),，(x-(-{b_2\over a_2}))\) 是一元多项式 \(f(x)\) 的因式
\(\therefore -{b_1\over a_1},-{b_2\over a_2}\) 是一元多项式 \(f(x)\) 的根
同理，对与一个 \(n\) 次 \(n+1\) 项式，\(-{b_i\over a_i}(1\le i\le n)\) 是它的根。
根的预备役
把可能成为多项式的根的式子，叫做根的预备役。
已知一个 \(n\) 次 \(n+1\) 项式：
\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x^1+a_0\]可因式分解为：
\[(a_{n1}x-x_1)(a_{n2}x-x_2)\cdots(a_{n3}x-x_n)\]\(a_{xi}\) 表示 \(a_x\) 的第 \(i\) 个因数。
那么每个 \((a_{ni}x-x_i)\) 都有可能是多项式的因式，
且每个 \({x_i\over a_{ni}}\) 都用可能是多项式的根。
例题
\(9x^4-3x^3+7x^2-3x-2\) 是一个四次五项式，\(n=4\)。
\[\therefore a_n=9,a_0=-2\]记 \(p\in\{x\in Z\vert kx=a_n=9,k\in Z\}=\{\pm 1,\pm 3,\pm 9\},\)
\(q\in\{x\in Z\vert kx=a_0=-2,k\in Z\}=\{\pm 1,\pm 2\}\).
根据因式定理的推论得：
\(q_i\over p_j\) 可能是原多项式的一个根，
\((x-{q_i\over p_j})\) 可能是原多项式的一个因式。
\[{q_i\over p_j}(1\le i\le n,1\le j\le n)\in\{\pm{1},\pm{2},\pm{1\over3},\pm{2\over3},\pm{1\over9},\pm{2\over9}\}(1\le i\le n,1\le j\le n)\]根据预备役中每个根 \({q_i\over p_j}\) 得出因式 \((x-{q_i\over p_j})\)，
代入原多项式并用短除法检验。