2.0 微积分

• 第一讲 极限和导数
  • 第一部分 数列极限
    • 定理
  • 第二部分 函数极限
  • 第三部分 导数
    • $1$ 导数的引入
    • $2$ 导数的定义
    • $3$ 求导法则
      • $3.1$ 加法的导数等于导数的加法。
      • $3.2$ $u(x) v(x)$ 求导数：
      • $3.3$ $f(g(x))$ 求导数：
• 第二讲 导数的应用
  • 第一部分 洛必达法则
  • 第二部分 函数的单调性和极值
  • 第三部分 偏导数与条件极值
    • $1$ 偏导数的引入
    • $2$ 条件极值
  • 第四部分 小量展开
• 第三讲 积分和微分方程
  • 第一部分 单元函数积分
    • $1$、变速直线运动的路程
    • $2$、变力做功
  • 第二部分 简单的微分方程

第一讲 极限和导数

第一部分 数列极限

如果存在一个实数 $p$ 使得：对于任意点实数 $\varepsilon > 0$，都存在一个整数 $m$，使得对于任意 $n > m$，$\lvert a_n - p \rvert < \varepsilon$，那么就叫 $p$ 是数列 $a_n$ 点极限，记作 $p = \lim_{n \to \infty} a_n$。否则叫数列 $a_n$ 没有极限。

定理

• 如果数列存在极限 $p_1$ 和 $p_2$，$p_1 = p_2$
• 如果数列的极限存在，则其无穷子序列极限存在，并与原数列相等
• 单调有界数列一定存在极限
• [夹逼定理] 如果数列 $a_n \le b_n \le c_n$，并且 $a_n, c_n$ 的极限都是 $p$，则 $b_n$ 的极限也是 $p$
• 如果数列的极限存在，那么其子序列极限一定存在并且与原极限相等

注意：数列的极限反应的是数列的变化趋势，是一个数，这个数并不要求在这个数列中出现。

• 如果两数列分别存在极限 $p_1、p_2$，则两数列和数列的极限为 $p_1 + p_2$
• 如果两数列分别存在极限 $p_1、p_2 \ne 0$，则两数列商数列极限为 $p_1 / p_2$

第二部分 函数极限

对于函数 $f(x)$，如果其在区间 $(x_0, x_0 + \alpha), \alpha > 0$ 内有定义，并且存在 $p$ 使得，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $0 \lt \beta \lt \alpha$，使得对于任意 $x \in (x_0, x_0 + \beta), \lvert f(x) - p \rvert \le \varepsilon$，那么称 $f(x)$ 在 $x_0$ 点处存在右极限 $p$，记作 $p = \lim_{x \to x_0} f(x)$。

类似地可以定义左极限，$p’ = \lim_{x \to x_0} f(x)$，如果左极限等于右极限，则不区分二者，直接称为函数在 $x_0$ 存在极限，记作：$p = \lim_{x \to x_0} f(x)$。

一个函数在区间 $x \in (A, \infty)$ 内有定义，$A$ 为任意实数，如果存在 $p$ 使得，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $B$，使得对于任意 $x > B$，有 $\lvert f(x) - p \rvert \le \varepsilon$，那么称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于正无穷时有极限 $p$，记为 $\lim_{x \to \infty^+} f(x) = p$。类似地可以定义 $f(x)$ 当 $x$ 趋于负无穷时有极限 $p$，记为 $\lim_{x \to \infty^-} f(x) = p$。

第三部分 导数

$1$ 导数的引入

\[\begin{aligned} \overline{v} & = \frac{s (t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} \\ v(t) & = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s (t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} \end{aligned}\]

导数扩展了物理量的意义， 例如：

• 加速度是速度随时间的导数 $a(t) = \frac{dv}{dt}$；
• 物体受到的合外力等于动量随时间的导数 $F(t) = \frac{dp}{dt}$；
• 力等于其做功随位移的变化率 $F(x) = \frac{dW}{ds}$。

$2$ 导数的定义

观察函数 $y = f(x)$ 上的两个点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$。连接这两个点的到函数的一条割线。割线的斜率是 $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$。当 $\Delta x$ 趋于 0 时，割线也就趋近于切线。于是我们的到函数上一点切线斜率的公式：$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

如果这个极限存在，也就表明函数在这一点的切线能唯一确定。显然切线的斜率是切点横坐标的函数。我们叫这样的函数叫做原函数的导函数，简称导数。

记号：$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} f = f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

一些常见的函数的导数可以直接按定义计算。

多项式：

\[\begin{aligned} \frac{dx^n}{dx} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{n \Delta x \cdot x^{n - 1} + \mathcal{C}_n^2 \Delta x^2 x^{n - 2} + \cdots}{\Delta x} \\ & = nx^{n - 1} \end{aligned}\]

我们不加证明的给出，函数有定义的时候，对于任意 $n \in R$，$\frac{dx^n}{dx} = nx^{n - 1}$

三角函数：

\[\begin{aligned} \frac{d \cos x}{dx} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x \cos \Delta x - \sin x \sin \Delta x - \cos x}{\Delta x} \\ & = -\sin x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} + \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 - \cos \Delta x}{\Delta x} \\ & = -\sin x \end{aligned}\]

同理 $\frac{d \sin x}{dx} = \cos x$

指数函数：

\[\begin{aligned} \frac{de^x}{dx} & = \lim_{\Delta x \to 0} \lim_{n \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{n})^{n (x + \Delta x)} - (1 + \frac{1}{n})^{nx}}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{nx} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \lim_{n \to x} \frac{(1 + \frac{1}{n})^{n \Delta x} - 1}{\Delta x} \\ & = e^x \cdot 1 \\ & = e^x \end{aligned}\]

对数函数： 对数函数作为指数函数的反函数，其切线的斜率等于指数函数的切线的倒数。指数函数 $y = e^x$ 在 $(x, e^x)$ 点的斜率为 $e^x$，所以对数函数 $y = \ln x$ 在 $(x, \ln x)$ 点斜率为原来的纵坐标的倒数，即现在横坐标的倒数，所以 $\frac{d \ln x}{dx} = \frac{1}{x}$

$3$ 求导法则

$3.1$ 加法的导数等于导数的加法。

$3.2$ $u(x) v(x)$ 求导数：

\[\begin{aligned} \frac{du(x) v(x)}{dx} & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x + \Delta x) v(x + \Delta x) - u(x) v(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x) + \Delta x u'(x))(v(x) + \Delta x v'(x)) - u(x) v(x) + \mathcal{O}(\Delta x^2)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x u'(x) v(x) + \Delta x v'(x) + \Delta x v'(x) u(x)}{\Delta x} \\ & = u' v + v' u \end{aligned}\]

记忆：乘法的导数等于第一个导数乘以第二个+第二个导数乘以第一个。

推论 $\frac{d(u(x) / v(x))}{dx} = u’(x) / v(x) + u(x)(1 / v(x))’ = \frac{u’v - v’u}{v^2}$

记忆：除法的导数等于分母不懂乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方。

$3.3$ $f(g(x))$ 求导数：

\[\begin{aligned} \frac{df(g(X))}{dx} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta x g'(x) + \mathcal{O}(\Delta x^2)) - f(g(x))}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(g(x)) \Delta x g'(x) + \mathcal{O}(\Delta x^2)}{\Delta x} \\ & = f'(g(x)) g'(x) \end{aligned}\]

记忆：复合函数的导数，两个函数分别求导数再相乘。

不论多复杂的函数和初等函数复合而成的函数都可以利用上面的求导法则进行计算。从这个意义上讲，是没有求导我们不会计算的！

第二讲 导数的应用

第一部分 洛必达法则

有时候会遇到 $0 / 0$ 型的极限式，即分子分母的极限分别为 $0$，例如 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x}{x ^ 3 + 2 x^2}$。当 $x \to 0$ 的时候，$x^3 « x^2 « x$，可见 $x$ 的高阶量相对于低阶量可以忽略。对于多项式求导可以降低阶数，当阶数降到 $0$ 的时候，极限不再是 $0$，可以直接计算了。

按照这条思路前人发明了洛必达法则：

如果 $\lim_{x \to a} u(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to a} v(x) = 0$

\[\lim_{x \to a} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x \to a} \frac{u'(x)}{v'(x)}\]

第二部分 函数的单调性和极值

如果函数在某点切线斜率为正，导数大于 $0$，则显然在这个点附近函数是增函数，反之如果函数在某点切线斜率为负，导数小于 $0$，则在这个点附近函数是减函数。

求函数极值点只需要令其一阶导数等于 $0$；闭区间求有界函数最大值，需要先找出所有极值点，然后找出边界点，比较这些点函数值，最大的是最大值；开区间求有界函数最大值，需要先找出所有极值点函数值，然后找出边界上的函数的极限值，比较这些值，如果边界极限最大，则开区间内无最大值，否则是最大的那个极值点。

第三部分 偏导数与条件极值

$1$ 偏导数的引入

日常生活中以至于经济学中，需要的函数经常关于几个变量同时变化，例如矩形面积 $S = ab$，这时候叫 $S$ 是关于 $ab$ 的二元函数 $S(a, b)$。固定其中一个变量 $b$ 为常数，则函数退化为一个一元函数：$F(a) = S(a, b) \vert_{b = b_0}$。对着这个一元函数求导数，结果叫做 $S(a, b)$ 对 $a$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial S}{\partial a} = \frac{S(a + \Delta a, b) - S(a, b)}{\Delta a}$，有时候也简记为 $\partial_a S$。同理定义 $\frac{\partial S}{\partial b} = \frac{S(a, b + \Delta b) - S(a, b)}{\Delta b}$。

多元函数求极值的方法和一元函数很类似。把一个变量作为自变量，其它变量当常数，得到一个一元函数，求导数。联立求解对所有变量的求导数得到的方程后解得的点叫做稳定点。可以证明，如果极值点存在，则一定在稳定点上。

$2$ 条件极值

实际情况还可能对一些自变量有限制条件，例如令矩形周长为常数 $L = 2a + 2b = C$。这种情况叫做条件极值。条件极值的一般方法是拉格朗日乘值法：

需要求极值的目标函数是：$G(x_1, x_2 \dots x_n)$ 限制条件 $F_1(x_1, x_2 \dots x_n) = 0$

构造新的目标函数 $I(x_1, x_2 \dots x_n, \lambda_1, \lambda_2,\dots \lambda_n) = G(x_1, x_2 \dots x_n) + \lambda F(x_1, x_2 \dots x_n)$

如果限制条件有 $s$ 个，类似的设 $s$ 个参数 $\lambda_i$

造出新的目标函数 $I(x_1, x_2, \dots, x_n, \lambda_1, \lambda_2 \dots \lambda_s) = G(x_1, x_2 \dots x_n) + \sum_i \lambda_i F_i(x_1, x_2 \dots x_n)$，再求偏导数即可。

第四部分 小量展开

我们不加证明的给出如下公式：如果某个函数 $n$ 阶可导，则

\[f(x + \Delta x) = f(x) + f'(x) \Delta x + \frac{1}{2!} f''(x) \Delta x^2 + \frac{1}{3!} f^{(3)}(x) \Delta x^3 + \dots + \frac{1}{n!} f^{n}(x) \Delta x^n + \mathcal{O}(n + 1)\]

这个公式叫做泰勒公式

例如，我们对 $f(x) = e^x$ 在 $x = 0$ 点处做展开：

\[\begin{aligned} f(x) & = e^x; \\ f'(x) & = e^x; \\ f''(x) & = e^x \\ & \dots \\ f^{(n)} & = e^x; \\ f(x) & = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \dots \end{aligned}\]

下面的公式要背，非常重要：

\[\begin{aligned} (1 + x)^n & = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2} x^2 + \mathcal{O}(3) \\ e^x & = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \mathcal{O}(3) \\ \sin x & = x - \frac{x^3}{6} + \mathcal{O}(5) \\ \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2} + \mathcal{O}(4) \end{aligned}\]

第三讲 积分和微分方程

第一部分 单元函数积分

$1$、变速直线运动的路程

我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是 $v$，则它 $t_a$ 到 $t_b$ 段时间间隔内走过的路程是 $s = v(t_b - t_a)$

对于变速直线运动来说：

\[s = v(t_1) \Delta t + v(t_2) \Delta t + v(t_3) \Delta t + \cdots + v(t_n) \Delta t = \sum_{i = 1}^n v(t_i) \Delta t\]

$2$、变力做功

我们把计算函数与横轴圈出的面积大极限定义为定积分：

\[\int_{s_a}^{s_b} F(s) ds = \lim_{\Delta s \to 0 ~ n \to \infty} \sum_{i = 1}^n F(S_i) \Delta s\]

我们把算面积的起点和终点 $S_a, S_b$ 叫做积分的下限和上限。

每次都通过极限计算定积分是不现实的。

如果一个函数满足 $\frac{d F(x)}{d x} = f(x)$，叫 $f(x)$ 是 $F(x)$ 的导函数，$F(x)$ 叫 $f(x)$ 的原函数。我们不加证明的给出：$\int_a^b f(x) = F(b) - F(a)$。这就是著名的牛顿-莱布尼兹公式。

从导函数求原函数的过程叫做不定积分。由于常数求导数等于 $0$，一个导数对应着不只一个原函数，相差一个常数，经常记作 $\mathcal{C}: \int f(x) = F(x) + c$

定积分是针对一个函数取上下限计算面积，结果是一个数。不定积分是求导数的逆运算，结果是一群相差常数的函数。

第二部分 简单的微分方程

物理规律经常同时包括某个物理量和其导数。这样的方程不同于一般的代数方程，不能通过处等运算直接得到物理量的关系。这样的方程叫做微分方程。