1.0 矢量基础
一、矢量的定义和四则运算
1.矢量的基本概念
同时有大小和方向，且遵循特定的运算法则的物理量叫矢量（向量）。矢量 $A$ 用 $\vec{A}$ 表示。矢量的大小用矢量的模 $\lvert \vec{A} \rvert$ 来表示，方向用模为 $1$ 的单位矢量 $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{\lvert \vec{A} \rvert}$ 表示。如果两个矢量相等，意味着两个矢量的大小和方向都相等。
2.矢量的加减法
（1）矢量的加法：
\[\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\]①三角形法则：
将 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向箭头末端）相接后，由 $\vec{A}$ 的尾画到 $\vec{B}$ 的首的有向线段即为 $\vec{R}$。
② 平行四边形法则：
将 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 两矢量始点重合后，作以 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 为边点平行四边形，由始点出发到新顶点有向线段即为 $\vec{R}$。
③ 矢量加法的基本性质：
(a)交换律：
\[\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A};\](b)结合律：
\[(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C});\](c)零矢量：
\[\vec{A} + \vec{0} = \vec{A} = \vec{0} + \vec{A}\](d)可逆性：
\[\vec{A} + (-\vec{A}) = \vec{0}= (-\vec{A}) + \vec{A}\]其中负矢量为将矢量大小不变，方向反向。
（2）矢量的减法：
\[\vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})\]也就是说，减去一个矢量就等于加上这个矢量的负矢量。
3.矢量的数乘
已知非零矢量 $\vec{a}$，可以作出 $\vec{a} + \vec{a} + \vec{a}$，简记 $\vec{OC} = 3 \vec{a}$；同理， $(-\vec{a}) + (-\vec{a}) + (-\vec{a}) = -3 \vec{a}$。
观察得：$3 \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相同且 $\lvert -3 \vec{a} \rvert = 3 \lvert \vec{a} \rvert$。
实数 $\lambda$ 与矢量 $\vec{a}$ 的积是一个矢量，记作：$\lambda \vec{a}$。我们对矢量 $\lambda \vec{a}$ 的模规定如下：
① $\lvert \lambda \vec{a} \rvert = \lvert \lambda \rvert \lvert \vec{a} \rvert$
② $\lambda \lvert \vec{a} \rvert$ 的方向定义为：$\lambda > 0$ 时 $\lambda \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 的方向相同；$\lambda < 0$ 时 $\lambda \vec{a}$ 与 $a$ 方向相反；$\lambda = 0$ 或 $\vec{a} = \vec{0}$ 时规定：$\lambda \vec{a} = \vec{0}$
以上规定的实数与矢量求积的运算叫做实数与矢量的乘法（简称矢量的数乘）。数乘的几何意义就是：把矢量 $\vec{a}$ 沿矢量 $\vec{a}$ 的方向或反方向放大或缩小。
当 $m, n \in \R$ 时，有
① 第一分配律：$(m + n) \vec{a} = m \vec{a} + n \vec{a}$。
② 第二分配律：$m (\vec{a} + \vec{b}) = m \vec{a} + m \vec{b}$
③ 结合律：$m (n \vec{a}) = (mn) \vec{a}$
二、矢量的坐标表示
1.二维矢量
在平面直角坐标系内，我们定义方向分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴正方向相同的两个单位矢量叫做基本单位矢量，分别记为 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$。将矢量 $\vec{a}$ 的起点置于坐标原点 $O$，作 $\vec{OA} = \vec{a}$。
如果点 $A$ 的坐标为 $(x, y)$，它在 $x$ 轴、$y$ 轴上的投影分别为 $M$、$N$，那么由矢量加法的平行四边形法则可知 $\vec{OA} = \vec{OM} + \vec{ON}$，由矢量和实数相乘的意义，可将 $\vec{OM}$ 和 $\vec{ON}$ 用基本单位矢量 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 表示：$\vec{OM} = x \hat{i}$，$\vec{ON} = y \hat{j}$，于是 $\vec{OA} = x \hat{x} + y \hat{y}$。这种向量的表示方法就是矢量的正交分解。显然，根据两点见距离公式可求得向量 $\vec{a}$ 的模（大小）为边点平行四边形
\[\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{x^2 + y^2}\]当然，我们物理中更多的是已知一个矢量的大小和方向，反过来求此矢量的 $x$、$y$ 分量大小。一个矢量 $\vec{a}$，它的模为 $a$，即 $\lvert \vec{a} \rvert = a$，它与 $x$ 周所成夹角 $\theta$，此时 $\vec{a}$ 的 $x$、$y$ 分量可以被定义为：
\[\begin{aligned} x & = a_x = a \cos \theta \\ y & = a_y = a \sin \theta \end{aligned}\]显然 $x$、$y$ 分量大小与 $a$、$\theta$ 之间关系满足：
\[\begin{aligned} a & = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \tan \theta & = \frac{y}{x} \end{aligned}\]根据三角比的关系，矢量 $x$、$y$ 分量的正负，取决于 $\theta$ 角的大小。当 $90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$，$b_x$ 为负值，$b_y$ 为正值。
2.三维矢量
取有公共原点 $O$ 的三条两两互相垂直，且有相同单位长度的数轴 $O_x$、$O_y$、$O_z$，这样就构成了一个空间直角坐标系，记作 $O - xyz$。为了研究问题方便，通常将 $x$ 轴和 $y$ 轴置于水平面上，$z$ 轴置于铅垂线方向。
建立了空间直角坐标系以后，我们把方向与 $x$ 轴、$y$ 轴和$z$ 轴正方向相同的三个单位矢量叫做基本单位矢量，依次记作 $\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$，效仿平面矢量的做法，可用基本单位矢量作 $\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$ 来表示空间矢量 $\vec{a}$。
以坐标原点 $O$ 为起点，作位置矢量 $\vec{QA} = \vec{a}$。设点 $A$ 的坐标为 $(x, y, z)$，它在 $xOy$ 平面上的射影是 $P$，在 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的射影分别是 $Q R S$，可以证明线段 $OS$ 与 $PA$ 平行且相等，线段 $OR$ 与 $QP$ 平行且相等，即 $\vec{OS} = \vec{PA}$，$\vec{OR} = \vec{QP}$。由矢量加法法则，可知
\[\begin{aligned} \vec{OQ} + \vec{OR} & = \vec{OP} \\ \vec{OA} = \vec{OP} + \vec{PA} & = \vec{OQ} + \vec{OR} + \vec{OS} \end{aligned}\]由矢量与实数乘积的意义，得：
\[\begin{aligned} \vec{OQ} & = x \vec{i}, \\ \vec{OR} & = y \vec{j}, \\ \vec{OS} & = z \vec{k}, \end{aligned}\]于是：
\[\vec{a} = \vec{OA} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}\]三、矢量的数量积
1.矢量的夹角
对于两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，如果以 $O$ 为起点，作 $\vec{OA} = \vec{a}$，$\vec{OB} = \vec{b}$，那么射线 $OA$、$OB$ 的夹角 $\theta$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角。$\theta$ 的取值范围是 $0 \leq \theta \leq \pi$。
当 $\theta = 0$ 时，表示向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 方向相同；当 $\theta = \pi$ 时，表示向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 方向相反。夹角 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 的两个向量时相互平行的，夹角 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 的两个向量时相互垂直的，记作 $\vec{a} \bot \vec{b}$。
2.矢量的数量积
对于两向量 $\vec{A}, \vec{B}$，我们把数量 $\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos{\theta}$ 叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积（或内积），记作 $\vec{a} \cdot \vec{b}$，即
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{a} \rvert \cos \theta,\]其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，也记作 $<\vec{a}, \vec{b}>$，且有 $0 \leq \theta \leq \pi$。$\lvert \vec{b} \rvert \cos{\theta}$ 称为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影。
注意到 $<\vec{a}, \vec{a}> = 0$，所以有 $\vec{a} \cdot \vec{a} = {\lvert \vec{a} \rvert}^2$，事实上，我们也常用 $\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ 来计算 $\vec{a}$ 的模长
3.数量积运算法则
（1）交换律：
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\]（2）数乘结合律
\[\lambda (a \cdot b) = (\lambda a) \cdot b\]（3）向量结合律（不适用）
\[(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} \neq \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})\]（4）对加减法的分配律：
\[(\vec{a} \pm \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} \pm \vec{b} \cdot \vec{c}\]或
\[\vec{a} \cdot (\vec{b} \pm \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{c} \pm \vec{a} \cdot \vec{c}\]4.数量积的坐标表述
设 $\vec{a} = (a_1, a_2)$，$\vec{b} = (b_1, b_2)$，则：
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 a_2 + b_1 b_2\]这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。
5.矢量的平行和垂直条件
对公式
\[\cos <\vec{a}, \vec{b}> = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert}\]代入坐标 $\vec{a} = (a_1, a_2)$，$\vec{b} = (b_1, b_2)$，上式可写为
\[\cos <\vec{a}, \vec{b}> = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\]特别的，若两向量平行，我们有 $<\vec{a}, \vec{b}> = 0 或 \pi$；若两向量垂直，我们有 $<\vec{a}, \vec{b}> = \frac{\pi}{2}$。这引导我们给出坐标表示下，向量的平行与垂直的判定条件和性质。
（1）向量平行的坐标表示
对 $\vec{a} = (a_1, a_2)$，$\vec{b} = (b_1, b_2)$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行（或共线）的充要条件是：
\[a_1 b_2 = a_2 b_1\]（2）向量垂直的坐标表示
$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直的充要条件是：
\[a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0\]