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1.0 三角函数
一、弧度制
1.角的概念
始边
终边
顶点
正角
负角
零角
2.弧度制的历史
3.弧度制的定义
角度制
弧度制
\[\lvert \alpha \rvert = \frac{l}{r}\]其中 $\alpha$ 的正负由角 $\alpha$ 终边的旋转方向决定。
\[360^\circ = 2 \pi (\mathrm{rad})\]$1$ 弧度的弧长等于半径的长度 $r$，相当于圆周长 $2 \pi r$ 的 $\frac{1}{2 \pi}$，所以 $1$ 弧度相当于 $360^\circ$ 的 $\frac{1}{2 \pi}$。
\[\begin{aligned} S & = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi} \\ & = \frac{1}{2} R^2 \theta \\ & = \frac{1}{2} (R \theta) \cdot R \\ & = \frac{1}{2} \cdot l \cdot R \end{aligned}\]二、任意角三角函数
1. 三角函数的定义
在任意角 $\alpha$ 的终边上任取一点 $P$，设 $P$ 点坐标为 $(x, ~ y)$，$OP = r$，则不难得到：
\[r = \sqrt{x^2 + y^2} ~ (r > 0)\]我们规定：
正弦
\[\sin{\alpha} = \frac{y}{r}\]余弦
\[\cos{\alpha} = \frac{x}{r}\]正切
\[\tan{\alpha} = \frac{y}{x} (x \neq 0)\]余切
\[\cot{\alpha} = \frac{x}{y} (y \neq 0)\]正割
\[\sec{\alpha} = \frac{r}{x} (x \neq 0)\]余割
\[\csc{\alpha} = \frac{r}{y} (y \neq 0)\]2.单位圆
3.同角三角函数的关系
正弦，余弦和正切的关系
\[\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\] \[\tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\]六个三角函数之间的关系
（1）倒数关系：
\[\sin{\alpha} \cdot \csc{\alpha} = 1; ~ \cos{\alpha} \cdot \sec{\alpha} = 1; ~ \tan{\alpha} \cdot \cot{\alpha} = 1\]（2）乘积关系：
\[\sin{\alpha} = \tan{\alpha} \cdot \cos{\alpha}, ~ \cos{\alpha} = \sin{\alpha} \cdot \cot{\alpha}, ~ \cot{\alpha} = \cos{\alpha} \cdot \csc{\alpha}\] \[\csc{\alpha} = \cot{\alpha} \cdot \sec{\alpha}, ~ \sec{\alpha} = \csc{\alpha} \cdot \tan{\alpha}, ~ \tan{\alpha} = \sec{\alpha} \cdot \sin{\alpha}\]（3）平方关系：
\[\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\] \[1 + \tan^2{\alpha} = \sec^2{\alpha}\] \[1 + \cot^2{\alpha} = \csc^2{\alpha}\]诱导公式
三、三角恒等变换
1.和差角公式
\[\begin{aligned} \mathcal{C}_{\alpha \pm \beta} : \cos(\alpha \pm \beta) & = \cos{\alpha} \cos{\beta} \mp \sin{\alpha} \sin{\beta} \\ \mathcal{S}_{\alpha \pm \beta} : \sin(\alpha \pm \beta) & = \sin{\alpha} \cos{\beta} \pm \cos{\alpha} \sin{\beta} \\ \mathcal{T}_{\alpha \pm \beta} : \tan(\alpha \pm \beta) & = \frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha} \tan{\beta}} \end{aligned}\]2.辅助角公式
\[a \sin{\theta} + b \cos{\theta}\]可以转化成
\[\sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \varphi)\]其中
\[\begin{aligned} \sin{\varphi} & = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ \cos{\varphi} & = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{aligned}\]