2运动学

• $2.1$ 运动物体的抽象：质点
• $2.2$ 最简单的运动：一维运动
  • $2.2.1$ 运动的快慢：速率
  • $2.2.2$ 图像详解
  • $2.2.3$ 加速度，匀加速运动
  • $2.2.4$ 落体运动
• $2.3$ 高维运动，位移，速度
  • $2.3.1$ 位置的确定：坐标系
  • $2.3.2$ 位置的变化：位移
  • $2.3.4$ 运动的快慢：速度
  • $2.3.5$ 速度的变化：加速度
• $2.4$ 抛体运动
• $2.5$ 圆周运动

$2.1$ 运动物体的抽象：质点

和所有科学一样，物理的研究也是从最简单的对象开始，当把简单的问题研究清楚了以后逐渐地深入到更复杂的研究对象。最简单的运动着的对象自然就是一个点，物理学中把一个运动着的点称之为一个质点（mass point）。用一个质点代表一个给定质量的点状物体的位置。当然了，所有运动的对象实际上都有或简单或复杂的内部结构，但是如果它的形状和结构对于具体问题的研究影响不大时就可以将该对象看作一个几何上的点。

$2.2$ 最简单的运动：一维运动

最简单的运动莫过于一个质点始终保持在一条直线上运动，就称它做直线运动。一个做一维运动物体的位置的描写十分简单，只需要把一根数轴放在它运动的直线上，选择任意一点当做数轴的原点，选择任意一个方向当做数轴的正方向，选择一个给定的长度当做计量长度的单位$\color{red}{^1}$，一个质点的位置就可以用在该数轴上的坐标来唯一决定。以这种方式选取的数轴称做描写该质点运动的坐标系（coordinate system），而该质点某一时刻所在位置在坐标系中的读数就叫做它的位置（position）或坐标。对于一维运动的质点，它在坐标系中的坐标通常用 $x$ 来表示，不过这一点不是必须的。

一维运动的描写相对简单，只要知道了每一时刻它所处的位置就完全掌握了该质点的一维运动行为。假设有一个质点，在时间 $t = 0s$ 时的坐标为 $x_0$，$t = 1s$ 时坐标为 $x_1$，$t = 2s$ 时坐标为 $x_2$ $\cdots$ 当知道了它在很多时刻的坐标时，就在一定程度上掌握了它的运动行为，运动质点在不同时刻的坐标值知道的越多，我们对它的运动信息就知道地越多。知道了一些坐标与时间的关系以后可以用很多方法把它的运动表现出来，以一个参加百米赛跑的运动员 为例，描写他从起跑到终点的运动的方法有

• 叙述
• 列表
• 图像

不难发现以上的三种描写质点运动的方法都无法体现运动的一个最明显的特征：连续性。运动的质点在每一时刻的位置一般来说都不相同，处于连续的变化过程当中。为了体现这种特点，我们希望有一种办法对于每一个时刻都能够给出质点的位置，而不是仅仅给出几个特殊时刻的位置。利用数学中的函数可以帮助我们得到任意时刻运动质点的位置。这时一个质点的运动可以表达为

\[x = x(t) \tag{2.1}\]

当函数 $x(t)$ 的形式为己知时，可以得到任意时刻质点所处的位置。借助函数的图像可以形象地给出质点运动的特征。例如当一个质点的运动可以用函数 $x(t) = 3t$ 来描写，从中不但可以知道任意时刻质点的位置，还可以从函数的性质得知此时相同的时间里该质点会走过相同的距离。假如另一个质点的运动函数为 $x(t) = 5t^2$，同样除了知道任意时刻的位置以及运动的其它性质。

$2.2.1$ 运动的快慢：速率

虽然当质点坐标随时间的函数为己知时，质点的运动的性质和特点实际上己经完全掌握了，但是我们还是希望从中得到运动有关的更为清楚的信息。不同的物体运动快慢有着明显的不同，一个正常行走的人比乌龟要快很多，但与路上行驶的汽车比起来很明显要慢，物理上我们定义一个物理量—速率（speed）来描写这种运动快慢的不同。其实在过去己经有了一些速率的知识，那时将它称为速度，在物理上要格外注意两者的不同，这里我们谈的是速率，它用来给出运动快慢的量度。只要想像一下行驶汽车的速率表，就能够马上得到关于速率的一个直观的印象。过去速率定义为在某一给定的时间 七 里运动质点所前进的路程，也就 是距离 $s$ 的比值：

\[v = \frac{s}{t} \tag{2.2}\]

速率的这个定义对于匀速运动的质点来说没有问题，但是对于运动发生变化的过程来说就显得有些粗糙，比如对于静止开始逐渐加速的汽车来说。很明显在开始的时候速率很慢，随着时间的增加速率则越来越快，为了更准确地描写物体运动的快慢我们需要更精确的速率的定义。为此我们可以从某一时刻 $t$ 开始计时，通过确定运动质点在某一不长的时间间隔 $\Delta t$ 内前进的距离 $\Delta s$ 与时间间隔 $\Delta t$ 的比值称做在这一小段时间里质点运动的平均速率：

\[\overline v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \tag{2.3}\]

可以想象到的是选择越小的 $\Delta t$，以如上方式得到的平均速率对运动质点在时间 $t$ 时运动快慢的描写就越精确。

事实上 $\Delta t$ 的选取是任意的，不同的 $\Delta t$ 选取会得到不同的平均速率。如果一个质点的运动用方程 $x = 5t$ 来描写，那么对于任意的 $t$，不同的 $\Delta t$ 选取对平均速率实际上没有影响：

\[\overline v = \frac{5(t + \Delta t) - 5t}{\Delta t} = \frac{5 \Delta t}{\Delta t} = 5 \text{m/s} \tag{2.4}\]

从运动方程来看我们也很清楚这时质点在做匀速运动，相同的时间里走过相同的距离。但是如果另一个质点的运动方程为 $x = 5t^2$ 时，就不一样了，从函数的图像可以看出随着时间的增加看上去运动速度越来越快。假如我们想知道在 $t = 1 \text{s}$ 时的速率，就需要在 $t = 1 \text{s}$ 时选择一个 $\Delta t$ 并根据定义$\color{red}{2.3}$来算出对于不同 $\Delta t$ 时的平均速率。

\[\begin{aligned} \Delta t = 1, ~& \overline v = \frac{5(1 + 1)^2 - 5}{1} = 15 \text{m/s} \\ \Delta t = 0.1, ~& \overline v = \frac{5(1 + 0.1)^2 - 5}{1} = 10.5 \text{m/s} \\ \Delta t = 0.01, ~& \overline v = \frac{5(1 + 0.10)^2 - 5}{1} = 10.05 \text{m/s} \\ \Delta t = 0.001, ~& \overline v = \frac{5(1 + 0.001)^2 - 5}{1} = 10.005 \text{m/s} \\ \Delta t = 0.0001, ~& \overline v = \frac{5(1 + 0.0001)^2 - 5}{1} = 10.0005 \text{m/s} \\ \Delta t = 10^{-n}, ~& \overline v = \frac{5(1 + 10^{-n})^2 - 5}{1} = [10 + 5 \times 10^{-n}] \text{m/s} \\ \end{aligned}\]

从上面的计算可以很容易地看出，$\Delta t$ 取得越小所计算出的平均速率与 $10 \text{m/s}$ 越接近，数学上将 $\Delta t$ 取得小得不能再小时通过式$\color{red}{2.3}$算出的运动质点在某一时刻到与它相邻极小时间里的平均速率称做运动质点在该时刻的瞬时速率

\[v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}. \tag{2.5}\]

当质点在某一时刻的瞬时速率为己知时，它在随后某一时间间隔 $\Delta t$ 里所能够前进的距离就是瞬时速率，与时间间隔 $\Delta t$ 的乘积

\[\Delta s = v \Delta t. \tag{2.6}\]

与瞬时速率的情况一样，$\Delta t$ 取得越小用这样的方式算出的前进距离与真实的前进距离的差别越小。还以前面的运动 $x(t) = 5t^2$ 为例，己知在 $t = 1 \text{s}$ 时的瞬时速率 $v = 10 \text{m/s}$，对于不同的 $\Delta t$ 选取通过两种方法算出的前进距离分别为

\[\begin{aligned} \Delta t = 1, ~ \overline v \Delta t = 10 \text{m}, ~& x(1 + 1) - x(1) = 15 \text{m} \\ \Delta t = 0.1, ~ \overline v \Delta t = 1 \text{m}, ~& x(1 + 0.1) - x(1) = 1.05 \text{m} \\ \Delta t = 0.01, ~ \overline v \Delta t = 0.1 \text{m}, ~& x(1 + 0.01) - x(1) = 0.1005 \text{m} \\ \Delta t = 10^{-n}, ~ \overline v \Delta t = 10^{1 - n} \text{m}, ~& x(1 + 0.001) - x(1) = [10^{1 - n} + 5 \times 10^{-2n}] \text{m} \end{aligned}\]

当在坐标系中谈论质点的运动时要特别注意的一点是，在建立坐标系的过程中我们己经假定了一个正方向，这样沿着坐标轴正方向的运动和沿着坐标轴负方向的运动虽然在相同时间里走过的路程是一样的，但经过一定的时间以后质点所处的位置却不同。这一点在上面的例子当中也能够看出，从 $t = 0$ 到 $t = 2$ 的时间里，质点是沿着坐标轴的正方向运动，而在随后的时间里质点的运动方向则是与轴反向。为了区别这种不同，在给出质点运动速率的同时就必须指出运动的方向，对于沿直线运动着的质点，沿着两个不同方向运动可以通过为速率指定一个正负号的办法达到。当考虑了质点运动方向以后，速率就有了新的名称—速度（velocity），对于沿轴运动着的质点，它的运动速度，能够为我们提供两个信息：质点本身移动的快慢用速度的绝对值给出，而移动的方向则由速度的正负号决定，当速度取正数时质点沿着轴正方向运动，反之当速度为负时质点则沿着轴的负方向运动。

对于一个以速度 $v$ 匀速运动着的质点来说，如果 $t$ 时刻它位于坐标轴上的 $x_0$ 处，那么在此后的 $\Delta t$ 时间之后，它所处位置的坐标 $x$ 可以表达为

\[x = x_0 + v \Delta t \tag{2.7}\]

$2.2.2$ 图像详解

一维运动 $x - t$ 图像以及平均速率和瞬时速率的几何意义。（$\text{a}$）对于匀速直线运动来说，它的图像是一条直线，任意时刻的速率均为表示运动的直线的斜率。（$\text{b}$）一般运动过程中从 $t$ 到 $t + \Delta t$ 时间间隔中的平均速率，它是连接曲线上两点 $A$ $B$ 构成的直线的斜率，直线上 $A$、$B$ 两点之间的部分有时被称为曲线的割线。（$\text{c}$）当 $\Delta t \to 0$ 时，$B$ 点和 $A$ 点无限地接近，在图中己经无法区分两个点，这时用来衡量两个时间点里距离变化的割线也变成了曲线的切线，而切线的斜率正是运动物体在 $t$ 时刻的瞬时速率。

无论是坐标，还是速度当质点运动时都能够用时间的某种函数来给出。既然是函数，我们就可以将它们在坐标系中画出来，这样就可以很形象地看出运动函数所具有的性质，并且还能够得到不同物理量之间的联系。

最简单的图像自然就是坐标与时间的图像，有时称之为 $x - t$ 图像。从图中可以很容易地找出某一给定时刻质点的坐标。如果一个质点以匀速运动，那么它的 $x - t$ 图像用直线表示，并且可以从图中看出质点运动的速率就是这条直线与横轴夹角 $\alpha$ 的正切。

另外从 $x - t$ 图像中其实我们还能够得到质点在某一时间段的平均速度，假设某一 $t$ 时刻质点的坐标为 $x$，它可以用图中的 $A$ 点代表。同理在时刻 $t$ 之后一某个时间间隔 $\Delta t$ 后它的坐标变成了 $x + \Delta x$，可以用图中的 $B$ 点来代表。这样在 $\Delta t$ 时间里的平均速率

\[\overline v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \tag{2.8}\]

$2.2.3$ 加速度，匀加速运动

一般来说一个质点的运动速率总是在不断地发生变化，只要想像一辆行驶在路上的汽车就能够得到这样的印象。正是因为这一点引入一个物理量来描写速率变化的快慢是很有必要的。假设一个质点在某一时刻 $t$ 的速率为 $v(t)$，而在此后的 $\Delta t$ 间隔之后由于某种原因变成了 $v(t + \Delta t)$，在这个运动过程中速率的增加量自然就是 $\Delta v = v(t + \Delta t) - v(t)$，那么加速度就被定义为速率的变化量与发生这一速率变化所需要时间 $\Delta t$ 的比值：

\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t}. \tag{2.9}\]

很明显，如果在给定时间里速率变化量越大就对应着较大的加速度，反之若在相同的时间里速率只发生了很小的改变，那么意味着较小的加速度。物理上用加速度（acceleration）来衡量速度变化的快慢和方式。如果上式中的间隔 $\Delta t$ 是一个相对较大的时间，在该时间前后速度发生了相当可观的变化，那么由上式定义出的加速度就是 $\Delta t$ 时间里的平均加速度。而当 $\Delta t$ 取得非常之小，就可以认为由上式得到的实际上是运动质点在 $t$ 时刻的瞬时加速度。

当在一段时间里质点运动的加速度保持不变，这样的运动就被称为匀加速运动。若加速度为 $a$ 且不随时间而变，在 $t = 0$ 的时刻质点的初始速率为 $v_0$，那么在此之后的任意时刻 $t$ 质点运动的速率则是

\[v(t) = v_0 + at. \tag{2.10}\]

可以看出速度随时间线性增加，此时的 $v - t$ 图像由图所示。我们知道，$v - t$ 图像在给定的两个时间点下包围的面积就是在该时间间隔当中质点的路程，当质点初始坐标为 $x_0$ 时此后 任意 $t$ 时间它的坐标则是

\[x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} at^2. \tag{2.11}\]

和速度一样，加速度也可用它与时间的图像来形象地给出，匀加速度运动质点的，$v - t$ 图像是一条直线，根据前面的经验可知加速度对应于该直线与时间轴夹角的正切，也就是该直线的斜率。对于一般的情况，在任意时刻 $t$ 加速度则是 $v - t$ 曲线在该点处切线的斜率反过来当给出 $a - t$ 图像时，两个给定时间之间 $a - t$ 曲线下的面积则对应于这一段时间里速度的变化量。

$2.2.4$ 落体运动

将一个重物由静止释放以后的运动就是一种匀加速运动，以这种方式运动的物体称为自由落体。为了和今后的表达方式一致，建立一个竖直向上的坐标系 $x$，物体由坐标系的原点处静止释放，实验表明任何自由落体都以相同的加速度均加速下落，加速度指向地面，随着时间的推移其速率均匀增加

\[v(t) = -gt, \tag{2.12}\]

位置随时间的关系则是

\[x(t) = -\frac{1}{2} gt^2, \tag{2.13}\]

其中 $g \simeq 9.8 \text{m/s}^2$，称为地球表面的重力加速度。

当初始时刻 $t = 0$ 时速度或坐标取非零值时自由下落物体速度和位置随时间的变化关系由一般情况下的均加速运动满足的规律给出。如果 $t = 0$ 时自由落体的位置和速度分别为 $x_0$ 和 $v_0$ 时，此后它的速度和位置随时间的关系为

\[v(t) = v_0 - gt, ~ x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{1}{2} gt^2. \tag{2.14}\]

$2.3$ 高维运动，位移，速度

$2.3.1$ 位置的确定：坐标系

在一个平面上确定一个点的位置比在直线上需要更多的信息。生活上有两种常用的方法来说明两点之间的位置关系，例如说清华大学在从天安门出发向西走 $6$ 公里再向北走 $11$ 公里：或者说北京大学在天安门北偏西大约 $40^\circ$ 方向 $12$ 公里处。这两种描述方法对应于物理中的两种常用的方式来确定平面上一个点的位置。

1. 直角坐标系：从一个给定点 $O$ 出发沿着两个相互垂直的方向做两个数轴 $x, y$，那么任意点的位置可以用它在这两个轴上的投影的坐标值 $(x, y)$ 唯一确定。当一个点的 $x$ 坐标取负值时说明它在 $O$ 点的左侧，同理当它的 $y$ 坐标值为负数时说明它在 $O$ 点的下方，$x ~ y$ 坐标可能的取值范围都是全部的实数值。

2. 平面极坐标系：从一个给定点 $O$ 出发确定一个给定的方向 $ON$，任何一点 $P$ 的位置用它和 $O$ 点的直线距离 $r$ 以及和给定方向之间的夹角 $\theta$ 来唯一确定。与直角坐标系不同的是 $r$ 的取值范围是从 $0$ 开始的正数，$r = 0$ 意味着该点位于图中 的 $O$ 点处：角度变量 $\theta$ 的取值有一定的任意性，从角度的一般定义可以看出，对于相同的$r$，当两个角度 $\theta_1$ 和 $\theta_2$，相差 $2 \pi$ 的整数倍时实际上对应于图中的同一个点，在使用的时候要注意这一点。另外原点 $O$ 处的角度取值并没有实际意义，都对应于图中的 $O$ 点。

无论选取哪种坐标系来描写质点的运动，都必须在开始描写物理问题之前明确地指出坐标系的取法。对于直角坐标系来说需要指出原点的位置以及两个轴的正方向分别指向何处；当使用平面极坐标系时需要指定原点的位置和参考方向的取向，只有当坐标系被明确地给出以后利用坐标系来描写质点的运动才是有意义的。两种坐标系都可用来唯一地给出质点的位置，在处理不同问题时选择合适的坐标系会使问题极大地简化。一般来说研究地球上质点的运动时选用直角坐标系来描写质点的位置，但是如果运动有一个明显的中心，例如太阳系中各个行星围绕太阳的转动时用极坐标则会更方便一些。

$2.3.2$ 位置的变化：位移

当质点在平面上运动，也就是它的位置发生变化时，描述这种变化一般我们会说 “它从某处（起点）出发沿着某种路线（轨迹) 最后到达了某处（终点）”。对于相同的起点 $A$ 和终点 $B$ 会有无数种运动的轨迹（path），沿着不同轨迹的运动很不一样，但它们都有共同的起点和终点。物理上我们用位移（displacement）来描写运动质点的位置变化，它的定义很简单，就是一条由起点到终点的一个箭头，即有向线段来给出质点的位移。这个有向线段的长度代表了位置变化的距离，而它的方向自然给出了位置变化的方向。这样当初始位置为己知，并且经过某种运动之后的位移也为己知时，在运动结束以后的位置就被唯一确定了。从 $A$ 点出沿着曲线运动的质点在各个不同位置时的位移。如果两点非常接近时，位移的大小和质点真正走过的距离非常接近，但当质点沿着轨迹前进一段距离之后位移的大小和所走过路程之间有了明显的差别，并且位移的大小和所走过路程的长短也没有必然的关系。

除了用箭头来表示位移，其实我们还可以用一段运动过程前后质点在给定坐标系中坐标值的变化来表示给定过程中的位移。对于一个在给定平面内运动的质点，建立一个平面直角坐标系 $Oxy$，当它在运动开始时刻位于由坐标 $(x_1, y_1)$ 所给出的位置，而在运动结束时的位置为 $(x_2, y_2)$ 时，整个运动过程的坐标变化量：

\[\Delta x = x_2 - x_1, ~ \Delta y = y_2 - y_1\]

像位移这样的物理量我们以前很少接触，不但需要有给定的大小同时还需要给出它的方向才能够完全确定一个质点的位移。物理上将这种必须由大小和方向同时决定的物理量称做矢量（vector）；与之相对应的那些只需要给出大小就可以完全给出的物理量被称为标量（scalar）。既然矢量由大小和方向来给出，直观地描写一个矢量需要要在纸上画出矢量的大小和方向。因为矢量同时具有大小和方向，所以当我们说两个矢量相等时不但要求它们的大小相等，同时也必须指向相同的方向才可以。

对于一个给定的矢量和另外一个标量（数），可以定义标量和矢量的乘积，它们的乘积同样是一个矢量，方向与被乘的矢量完全一致，而大小则为被乘矢量的大小与标量大小的乘积，需要注意的是当标量乘数为一个负数时，相乘的结果矢量方向与被乘矢量相反！类似地可以定义一个矢量除以一个标量为矢量和标量倒数的乘积，只要该标量不为零的话。

如果有两个给定的矢量 $\vec A$ 和 $\vec B$，定义两者的加法：将 $\vec B$ 的起点放置在 $\vec A$ 的终点处，那么两者相加的结果为一个新的矢量 $\vec C$，它是一个由 $\vec A$的起点到 $\vec B$ 的终点的矢量。可以很容易地证明，将 $\vec A$ 的起点放在 $\vec B$ 的终点时由 $\vec B$ 的起点指向 $\vec A$ 的终点所给出的矢量与前面的方法一致。另外将两个矢量的终点放在一起，并且将它们做为两个边做平行四边形，而由共同的起点指向平行四边形的对点所给出的矢量也与前面的结果一致。两个矢量的加法可以写为

\[\vec C = \vec A + \vec B \tag{2.15}\]

同样可以定义两个矢量之间的减法，利用前面加法的定义，两个矢量的减法

\[\vec C = \vec A - \vec B = \vec A + (-1 \times \vec B) \tag{2.16}\]

矢量之间不但可以有加减法运算，还有一种类似于乘积的运算—内积。定义两个矢量的内积为一个标量，它等于两个矢量长度以及它们之间夹角余弦的乘积：

\[c = \vec A \cdot \vec B = \lvert \vec A \rvert \cdot \lvert \vec B \rvert \cdot \cos \theta, \tag{2.17}\]

其中 $\lvert \vec A \rvert$ 和 $\lvert \vec B \rvert$ 分别代表两个矢量的长度，而 $\theta$ 为两个矢量之间夹角的余弦。

除了用图形表示矢量，还可以利用直角坐标系将矢量用它的分量表示。当平面直角坐标系被给定了以后，对于任意平面的矢量 $A$，可以将它平移直到起点与坐标系的原点 $O$ 重合，这样它在直角坐标系中可以用它的终点的坐标 $(A_x, A_y)$ 来表示，$(A_x, A_y)$ 称为矢量在坐标系中的分量。这样它与一个给定标量。的乘积的分量为矢量的各个分量分别与标量 $c$ 的乘积：

\[(c \vec A)_x = c A_x, ~ (c \vec A)_y = c A_y \tag{2.18}\]

同样对于另外一个矢量 $\vec B = (B_x, B_y)$，它与 $\vec A$ 的加法、减法以及内积的分量则可分别表示为

\[(A + B)_x = A_x + B_x, ~ (A + B)_y = A_y + B_y \tag{2.19}\] \[(A - B)_x = A_x - B_x, ~ (A - B)_y = A_y - B_y \tag{2.20}\] \[A \cdot B = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y \tag{2.21}\]

$2.3.4$ 运动的快慢：速度

运动质点的速度被定义为位移随时间的变化率，所以它和位移一样不但有大小而且有方向。对于一个在 $t$ 时刻位于 $\vec r(t)$ 而在 $\Delta t$ 时刻位于 $\vec r(t + \Delta t)$ 运动的质点来说它的平均速度的定义为

\[\vec v = \frac{\vec r (t + \Delta t) - \vec r(t)}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}. \tag{2.22}\]

当 $\Delta t$ 很小时可以发现速度的方向和此时质点运动的方向趋近于一致，其大小则等于此时的瞬时速率，称做质点的瞬时速度

\[\vec v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \tag{2.23}\]

如果物体沿曲线运动，则瞬时速度的方向实际上就是轨迹切线的方向。

当一个物体在某一时刻的位置 $\vec r$ 和速度 $\vec v$ 同时为己知时，则在一微小时刻 $\Delta t$ 之后它所处的位置由

\[\vec r(t + \Delta t) = \vec r + \vec v \Delta t \tag{2.24}\]

所给出。如果质点的运动速度的大小和方向都不随时间而变化时，这样的运动被称为匀速直线运动。当一个做匀速直线运动的质点在 $t = 0$ 时的位置为 $\vec r_0$，而它的速度为 $\vec v$ 时，非常容易地，在任意 $t$ 时刻它的位置为

\[\vec r(t) = \vec r_0 + \vec vt. \tag{2.25}\]

$2.3.5$ 速度的变化：加速度

和一维的情况类似，平均加速度被定义为给定时间 $\Delta t$ 里速度的变化率

\[\vec a = \frac{\vec v(t + \Delta t)}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}, \tag{2.26}\]

而上式在 $\Delta t \to 0$ 的极限情况下的值为质点在 $t$ 时刻的瞬时加速度：

\[\vec a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \tag{2.27}\]

和速度和位移一样，一般情况下的加速度也是一个矢量，大小为速度交化量随时间的变化率，而方向给出了速度变化的方式。因为速度是一个矢量，当它的大小或者方向发生变化时都会带来非零的加速度。

当质点在某一时刻 $t$ 时的速度 $\vec v(t)$ 和此时它的加速度 $\vec a$ 同时为己知时，在此后 $\Delta t$ 时间后它的速度为

\[\vec v(t + \Delta t) = \vec v(t) + \vec a \Delta t. \tag{2.28}\]

加速度的大小和方向都不变的运动被称为匀加速运动。$t = 0$ 时位于 $\vec r_0$，速度为 $\vec v_0$ 的做加速度为 $a$ 的匀加速运动速度和位置随时间的变化率形式相对简单：

\[\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \tag{2.29}\] \[\vec r(r) = \vec r_0 + \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{1}{2} \vec a t^2 \tag{2.30}\]

$2.4$ 抛体运动

在地球表面附近抛出的物体在阻力可以忽略不计时的运动称之为抛体运动。观测表明抛体运动是均加速运动，运动过程中加速度的大小等于重力加速度 $g$，方向指向地面。当初始速度的方向与地表的垂线方向一致，也就是竖直向上或向下时，抛出的质点将作直线运动，但如果初始速度有水平方向的分量时，运动的轨迹将是一条曲线，曲线的形状和大小与初速度的大小和方向密切相关，数学上将这类曲线统称为抛物线 因为地体的运动易于观察，所以我们首先集中精力研究抛体运动的一般性质和处理方法，在这里所学的方法和结果实际上能够很轻易地推广到其它的的匀加速运动中去。

在不考虑复杂因素的理想情形下，斜向拋出的物体将在一个平面内运动。为了方便地研究抛体的运动，我们在它运动的平面内建立一个平面直角坐标系，简单起见，设坐标系的原点与抛体运动的起始点重合，工轴与初速度的水平分量的方向一致，称为水平方向，$y$ 轴垂直于地面竖直向上，称之为竖直方向。在这样的坐标系原点处抛出；质点的速度大小为 $v_0$，它与水平方向的夹角定义为 $\theta$，这样的两个量唯一地决定了抛体此后的运动状态。为了定量地描写抛体的运动，我们用它在运动过程中某一时刻 $t$ 的水平和竖直坐标值来表示它的位置。

抛体运动过程中水平和竖直方向的运动行为不同，它的水平坐标值 $x$ 随着时间的推移均匀地增大，看上去像是在做匀速直线运动，其匀速运动的速度就是初始速度的水平分量：

\[v_x(t) = v_0 \cos \theta \tag{2.31}\] \[x(t) = v_0 \cos \theta \cdot t \tag{2.32}\]

而在竖直坐标 $y$ 随时间的变化关系则和以初速度的竖直分量 $v_{y0} = v \sin \theta$ 为初速度的竖起上抛运动完全一致：

\[v_y(t) = v_0 \sin \theta \cdot t - gt \tag{2.33}\] \[y(t) = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} gt^2 \tag{2.34}\]

像上面那样把一个空间中的曲线运动用它在某一坐标系中的各个坐标值随时间的关系来表示的过程称之为运动的分解，反过来如果知道了一个特定的运动过程在某一坐标系中的各个坐标随时间的关系，那么它在空间中的运动行为就被唯一地决定，这样的处理过程称为运动的合成。将一个复杂的运动首先分解为沿着各个方向的分运动，在搞清楚各个方向的分量运动的行为之后再将它们统一起来得到最终的运动是运动学中非常常用的方法。以前面抛体运动为例，看上去抛体的运动是具有一定的复杂性的曲线运动，但将它的运动过程用 它的水平和竖直坐标来描写时发现它们都满足简单的运动规律，水平方向上作匀速直线运动，而在竖直方向上稍复杂一些，也不过是竖直的落体运动。

水平和竖直方向的分运动合起来就是完整的抛体运动。抛出物体的运动轨迹可由它们的运动方程$\color{red}{2.32}\(,\)\color{red}{2.34}$导出，从$\color{red}2.32$中解出时间

\[t = \frac{x}{v_0 \cos \theta}\]

将它代入$\color{red}{2.34}$当中就是可消去时间 $t$ 从而得到抛体运动过程中任何一点处的竖直坐标和此时物体水平坐标的关系，也就是抛体的轨迹方程

\[y(x) = \tan \theta \cdot x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 \tag{2.35}\]

可以看出上式当中 $y$ 是水平坐标 $x$ 的二次方程，这就是数学上将二次方程代表的曲线称为抛物线的原因。进一步观察上式还可以看出所有的抛体轨迹在我们选取的坐标系中都是开口向下的抛物线，其对称轴的位置和宽度由初始条件，也就是初速度的大小 $v_0$ 和角度 $\theta$ 共同决定。当初速度和抛射角取一些特殊值时，一般的抛体运动退化成相对简单的运动形式，例如

• 自由落体运动：$v_0 = 0$
• 竖直上抛运动：$v_0 > 0, ~ \theta = \frac{\pi}{2}$
• 竖直下抛运动：$v_0 > 0, ~ \theta = -\frac{\pi}{2}$
• 平抛运动：$v_0 > 0, ~ \theta = 0$

以上就是抛体运动所满足的所有规律，灵活地使用这些基本的关系式就可以解决几乎所有和抛体运动有关的问题。

除了使用由方程$\color{red}{2.31}$-$\color{red}2.35$给出的代数方程以外，在解决有些问题时使用几何方法会极大降低计算量，并突出物理意义。因为抛体运动就是匀加速度运动，在给定的时间 $t$ 里速度的变化量就是重力加速度 $g$，乘以时间 $t$，不要忘了速度是一个矢量，所以速度的改变量大小为 $gt$，而方向指向地面。当抛体的初始速度矢量 $\vec v_0$ 被给定了以后，任一时刻 $t$ 的速度矢量由

\[\vec v(t) = \vec v_0 + \vec gt \tag{2.36}\]

给出。同样的道理从抛出点算起，抛体任一时刻的位移则可以用矢量表达为

\[\vec r(t) = \vec v_0 t + \frac{1}{2} \vec g t^2 \tag{2.37}\]

从中可以看出抛体的运动过程中任何时刻的位移可以看成是以初速度 $\vec v_0$ 的匀速直线运动和一个自由落体运动的合成，这可以极大地方便我们分析抛体的运动。当把代表位移的矢量关系图中代表自由落体的矢量放大一倍以后再与起始点连接构成的图形和代表速度矢量关系的图形相似。

$2.5$ 圆周运动

质点沿圆的运动是另一类简单曲线运动，称为圆周运动。圆周运动是非常普遍的运动形式，在游乐场可以看到大量的圆周运动的例子，在历史上很长时间里人们一直认为天体的运动也是圆周运动。最简单的圆周运动是质点以固定的速率沿着圆周运行，这样的运动称为匀速圆周运动，做匀速圆周运动的质点速度大小始终不变，但是速度的方向却在不断地变化。根据加速度的定义可以看出即使是匀速圆周运动的质点的加速度也不为零。

最方便地描写圆周运动质点的位置并不是像研究抛体运动时的平面直角坐标系，而是用运动质点与圆心的连线与一个固定方向的夹角来表示质点的位置。当做圆周运动的质点运动到 $P$ 点时，它与固定方向 $ON$ 的夹角 $\theta$ 可以唯一地确定它在圆周上的位置 $P$，我们将 $\theta$ 称为做圆周运动质点的角位置，习惯上规定沿着逆时间转动的方向为 $\theta$ 增大的方向。从某种意义上角位置和一维运动质点的坐标有很多相似之处，但也要注意它们的不同。例如一维运动质点的位置由其坐标唯一确定，但是角位置却不同，任意与给定的 $\theta$ 相差 $2 \pi$ 整数倍的角度实际上给出的是同样的空间位置。例如 $\theta = 0$ 与 $\theta = 2 \pi$ 所给出的位置都是图中的 $N$ 点。

当质点在圆周上运动时，它的角位置 $\theta$ 会随时间的推移不断地发生变化，作匀速圆周运动的质点相同时间里角位置的变化量为常数，称为匀速圆周运动的角速度，它定义为单位时间里角位置随时间的变化率。如果在 $\Delta t$ 时间里质点转过的角度为 $\Delta \theta$，这时它作匀速圆周运动的角速度 $\omega$ 就表示为

\[\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \tag{2.39}\]

从定义可以看出当质点的圆周运动方向是使 $\theta$ 变大的方向，则角速度为正，反之角速度为负。如果质点在圆周运动过程中角速度时刻保持不变，则称该质点作匀速圆周运动。当初始角位置和角速度均己知的匀速圆周运动，在任意时刻 $t$ 的角位置能够表达为

\[\theta(t) = \theta_0 + \omega t. \tag{2.39}\]

因为角位置的周期性，在经过一段时间后它的角位置将与初始位置的差别变成 $2 \pi$，很容易想像实际上质点又回到了出发点。匀速转动一周又回到起始点所需要的时间称为匀速圆周运动的周期，根据定义它和角速度的关系为

\[\omega T = 2 \pi, ~ T = \frac{2 \pi}{\omega}, \tag{2.40}\]

从中可以看出角速度越大转动的周期就越短。另外一个用来描写转动快慢的物理量为转动的频率，用单位时间（通常是 $\text{1s}$）内完成转动的圈数，从定义可以看出频率广和周期、角速 度之间必然满足关系

\[f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2 \pi} \tag{2.41}\]

频率的单位为赫兹，需要注意的是它并不需要一定要求是一个整数。

匀速圆周运动质点的速度大小并不会随时间发生变化，它的速率称为匀速圆周运动的线速度，当沿着半径为 $R$ 的圆弧运动质点的角速度为 $\omega$ 时，在时间 $\Delta t$ 里将掠过 $\Delta \theta = \omega \Delta t$ 的角度，这样它所掠过的弧长就是 $\Delta s = R \cdot \omega \Delta t$，简单的计算表明它的线速度大小

\[v = \omega R, \tag{2.42}\]

可以看出线速度的大小由角速度和半径共同决定，方向则满足速度的一般性质，沿着轨迹的切线方向，对于圆来说任何一点的切线方向与该点的圆心连线方向垂直。